解无棱二面角大小的三个策略

概要：点评 利用面积射影法间接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角双重麻烦，使求解过程更简便.对策三 利用两个半平面垂线求解解法4 过点C作CH⊥AF垂足为点H，取线段AF的中点为点N，连结NO，则NO⊥OB，而OB⊥平面ACF，所以NE⊥平面ACF. 从而CH⊥EN.又CH⊥AF，所以CH⊥平面AEF.又CF⊥平面ABCD，从而可得二面角的两个半平面的垂线CH，CF的夹角为∠FCH，该角和平面AEF与平面ABC所成二面角的大小相等.又∠FCH=∠FAC，所以在Rt△FAC中，tan∠FAC==.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.点评 二面角的两半平面的垂线所成角的大小与二面角的大小相等或互补，这就需要先对二面角的大小作粗略的判断：当二面角的一个半平面上的任意一点在另一个半平面上的射影在二面角的半平面上的，二面角为锐角；当射影在棱上时，二面角为直角；当射影在反向延伸面上时，二面角为钝角.对策四 找（作）二面角的棱，作出平面角求解解法5

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　　点评 利用面积射影法间接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角双重麻烦，使求解过程更简便.

　　对策三 利用两个半平面垂线求解

　　解法4 过点C作CH⊥AF垂足为点H，取线段AF的中点为点N，连结NO，则NO⊥OB，而OB⊥平面ACF，所以NE⊥平面ACF. 从而CH⊥EN.又CH⊥AF，所以CH⊥平面AEF.又CF⊥平面ABCD，从而可得二面角的两个半平面的垂线CH，CF的夹角为∠FCH，该角和平面AEF与平面ABC所成二面角的大小相等.

　　又∠FCH=∠FAC，所以在Rt△FAC中，tan∠FAC==.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.

　　点评 二面角的两半平面的垂线所成角的大小与二面角的大小相等或互补，这就需要先对二面角的大小作粗略的判断：当二面角的一个半平面上的任意一点在另一个半平面上的射影在二面角的半平面上的，二面角为锐角；当射影在棱上时，二面角为直角；当射影在反向延伸面上时，二面角为钝角.

　　对策四 找（作）二面角的棱，作出平面角求解

　　解法5 （利用相交直线找棱）分别延长线段CB，FE交于点P，并连结AP，则AP为平面AEF与平面ABC的交线.因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BECF，从而CB=BP，DBAP.又DB⊥AC，所以AP⊥AC.又CC1⊥平面ABC，所以AC1⊥AP，从而∠FAC为平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角.

　　在Rt△FAC中，AC=，CF=，则tan∠FAC==.

　　点评 若二面角的两半平面同时与第三个平面相交，则这两条交线的交点在二面角的棱上.

　　解法6 （利用平行直线找棱）记AC∩BD=O，取AF的中点为点N，连结NO，则NOCF，BECF，所以NOBE，所以EN∥BD.又EN?奂平面AEF，设平面AEF∩平面ABC=l，过点A作AP∥EN，则l∥BD，P∈l.以下同解法5.

　　点评 当二面角的两半平面上有两条互相平行的直线时，由线面平行的性质可知，二面角的棱与这组平行线平行.

　　解法7 （利用平移平面找棱）分别取线段AF，CF的中点为点N，M，连结NE，EM，NM，则NOCF，BECF，从而可得NOBE，所以EM∥BC，EN∥BD，所以平面ENM∥平面ABC，则平面AEF与平面ABC所成二面角和平面AEF与平面ENM所成二面角大小相等.

　　由平面ENM∥平面ABC，CC1⊥平面ABC，得CC1⊥平面ENM.又NM⊥EN，NM⊥EN，所以FN⊥EN，从而∠MNF为平面AEF与平面ECM所成二面角的平面角.在Rt△NMF中，NM=，MF=，则tan∠MNF

　　==.

　　点评 如果两个二面角的两半平面分别平行，则这两个二面角大小相等或互补.

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