概要：(1) 偶函数的定义:假如对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数.(板书)(给出定义后可让学生举几个例子,如 等以检验一下对概念的初步熟悉)提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出 或 的图象让学生观察研究)学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.(2) 奇函数的定义: 假如对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数.(板书)(由于在定义形成时已经有了一定的熟悉,故可以先作判定,在判定中再加深熟悉)例1. 判定下列函数的奇偶性(板书)(1) ; (2) ;(3) ; ;(5) ; (6) .(要求学生口答,选出12个题说过程)解: (1) 是奇函数.(2) 是偶函数.(3) , 是偶函数.前三个题做完,教师做一次小结,判定奇偶性,只需验证 与 之间的关系,但对你们的回答我不满足,因为题目要求是判定奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?学生经过思考可以解决问题,指出只要举出一个反例说明 与 不等.如 即可说明它不
高一数学教案：函数单调性与奇偶性,标签：高一数学教学资源大全,高中数学学习方法,http://www.kgf8.com(1) 偶函数的定义:假如对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数.(板书)
(给出定义后可让学生举几个例子,如 等以检验一下对概念的初步熟悉)
提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出 或 的图象让学生观察研究)
学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.
(2) 奇函数的定义: 假如对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数.(板书)
(由于在定义形成时已经有了一定的熟悉,故可以先作判定,在判定中再加深熟悉)
例1. 判定下列函数的奇偶性(板书)
(1) ; (2) ;
(3) ; ;
(5) ; (6) .
(要求学生口答,选出12个题说过程)
解: (1) 是奇函数.(2) 是偶函数.
(3) , 是偶函数.
前三个题做完,教师做一次小结,判定奇偶性,只需验证 与 之间的关系,但对你们的回答我不满足,因为题目要求是判定奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?
学生经过思考可以解决问题,指出只要举出一个反例说明 与 不等.如 即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次熟悉到定义中任意性的重要)
从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的 = 不能经受任意性的考验,当 时,由于 ,故 不存在,更谈不上与 相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.
教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判定中需要注重些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有1,有2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,从而发现定义域应关于原点对称 ,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?
可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.
(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)
由学生小结判定奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.
经学生思考,可找到函数 .然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证实吗?
例2. 已知函数 既是奇函数也是偶函数,求证: .(板书) (试由学生来完成)
证实: 既是奇函数也是偶函数,
= ,且 ,
= .
,即 .
证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现, 只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 , , , ,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类
(4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: (板书)
例3. 判定下列函数的奇偶性(板书)
(1) ; (2) ; (3) .
由学生回答,不完整之处教师补充.
解: (1)当 时, 为奇函数,当 时, 既不是奇函数也不是偶函数.
(2)当 时, 既是奇函数也是偶函数,当 时, 是偶函数.
(3) 当 时, 于是 ,
当 时, ,于是 = ,
综上 是奇函数.
教师小结 (1)(2)注重分类讨论的使用,(3)是分段函数,当 检验 ,并不能说明 具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须 均有 成立,二者缺一不可.
三. 小结
1. 奇偶性的概念
2. 判定中注重的问题
四. 作业 略
五. 板书设计
2.函数的奇偶性例1. 例3.
(1) 偶函数定义
(2) 奇函数定义
(3) 定义域关于原点对称是函数 例2. 小结
具备奇偶性的必要条件
(4)函数按奇偶性分类分四类
探究活动
(1) 定义域为 的任意函数 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证实之吗?
(2) 判定函数 在 上的单调性,并加以证实.
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